电磁场中传播常数K和相位常数β的关系

在学习矩形波导的TE模和TM模的过程中，会遇到下面这个公式：
其中K和β这两个值都和波长λ有关，且很多与之相关的式子都差不多，因此常常产生疑惑。
在Pozar的《微波工程》一书中该公式定义的是截止波数，是根据麦克斯韦方程在矩形波导的边界条件和TE/TM模的限定下推导得到的。

1. K首先出现在亥姆霍兹方程中，定义如下：
   
   应用于无耗介质的平面波中，该情况下的边界条件最为简单
2. 在有耗介质的平面波中，没有使用k，而是采用了复传播常数
   
   这里的将β定义为相位常数
3. 在传输线中，求传输线或波导中电磁波的通解时，引入了截止波数Kc，书中对其说明如下
   
   到这里就明白了，β是在特定边界条件下需要求解的电磁波的相位常数，所求解出的电磁波的波长λ与β满足关系

而K是一个固定的值，只与材料的参数和频率f有关，即

其仅仅在平面波或者TEM波的解中能当作是相位常数使用（此时与β相等），其余情况下仅仅作为一个固定的量用来参考，比如TE模情况下要求K＞Kc时，β才是实数，电磁波才有解，而K＜Kc时，β为虚数，电磁波的场分量指数衰减，因此可以得到截止频率（即K=Kc时的频率）和波导尺寸的关系：

在K＞Kc的情况下，β便是波导中电磁波的相位常数，和波导波长以及平面波或TEM波的波长满足关系：

这也正好说明了在相同介质中平面波或TEM波的波长要小于波导中电磁波的波长。

总结

K是一个只与频率、介质参数有关的值，仅仅在平面波和TEM波中能作为相位常数使用，此时与β相等，表示单位长度上的弧度数。
β是电磁波的相位常数，适用于包括平面波、TEM波、TE、TM等电磁波。
欢迎补充